线面平行的性质定理
2025-07-06 19:08:21
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一条直线与一个平面无公共点(不相交)，称为直线与平面平行。线面平行的性质定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

线面平行的性质定理一

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α

反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α

∵a∥b，∴A不在b上

在α内过A作c∥b，则a∩c=A

又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。

∴假设不成立，a∥α

线面平行的性质定理二

平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。求证：a∥α

证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。

假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC

∵B∈α，C∈α，b⊥α

∴b⊥BC，即∠ABC=90°

∵a⊥b，即∠BAC=90°

∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。

∴假设不成立，a∥α。

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