实对称矩阵的特征向量一定正交吗
2025-05-13 12:04:47
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实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可相似对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若A具有k重特征值λ0必有k个线性无关的特征向量，或者说秩r（λ0E-A）至多为n-k，其中E为单位矩阵。
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。
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