面面垂直的判定定理
2025-07-11 19:42:35
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判定定理:一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。推论:1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面,那么这两个平面互相垂直。2、如果两个平面的垂线互相垂直,那么这两个平面互相垂直。(可理解为法向量垂直的平面互相垂直)

面面垂直性质定理

1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。

3.若两个平面垂直,则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。

面面垂直定理证明

证明:任意两个平面关系为相交或平行,设a⊥β,垂足为P,那么P∈β

∵a⊂α,P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P,因此α与β相交。

设α∩β=b,∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β,a⊥β

∴a⊥b,垂足为P

又c⊥b,垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c,即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义,α⊥β

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