面面垂直的判定定理
2025-07-11 19:42:35
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判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）

面面垂直性质定理

1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。

3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。

面面垂直定理证明

证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β

∵a⊂α，P∈a

∴P∈α

即α和β有公共点P，因此α与β相交。

设α∩β=b，∵P是α和β的公共点

∴P∈b

过P在β内作c⊥b

∵b⊂β，a⊥β

∴a⊥b，垂足为P

又c⊥b，垂足为P

∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角

∵c⊂β

∴a⊥c，即∠aPc=90°

根据面面垂直的定义，α⊥β

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